5.9. 二次规划建模

二次规划问题可以用以下数学形式表示:

\[\begin{split}\min \quad&-c^f + c^Tx + \frac{1}{2}x^T Q x \\ \mbox{s.t.} \quad&l^r \leq Ax \leq u^r, \\ & l^c \leq x \leq u^c,\end{split}\]
其中
  • \(x \in \mathbb{R}^{n}\) 是决策变量,

  • \(l^c \in \mathbb{R}^{n}\)\(u^c \in \mathbb{R}^{n}\) 分别为 \(x\) 的下界和上界,

  • \(c^f \in \mathbb{R}\) 是目标函数中的常量,

  • \(c \in \mathbb{R}^{n}\) 是目标函数中的系数,

  • \(Q \in \mathbb{R}^{n\times n}\) 是目标函数中二次项的系数,

  • \(A \in \mathbb{R}^{m \times n}\) 是约束矩阵,

  • \(l^r \in \mathbb{R}^{m}\)\(u^r \in \mathbb{R}^{m}\) 分别为是约束的下界和上界。

使用 MindOpt 的步骤为:

  1. 创建优化模型;

  2. 输入优化问题并设置算法参数;

  3. 求解优化问题并获取解。

Note

MindOpt 仅存储中的约束矩阵 \(A\) 和二次矩阵 \(Q\) 中的 非零元;因此,使用时只需要输入 非零元 在约束矩阵中的 行列位置 (row/column index) 以及对应的 非零数值 (nonzero value)

5.9.1. 二次规划问题示例

在下文中,我们将考虑下列二次规划问题:

\[\begin{split}\begin{matrix} \min & & 1 x_0 & + & 1 x_1 & + & 1 x_2 & + & 1 x_3 \\ & + 1/2 [ & x_0^2 & + & x_1^2 & + & x_2^2 & + & x_3^2 & + & x_0 x_1 & ] \\ \mbox{s.t.} & & 1 x_0 & + & 1 x_1 & + & 2 x_2 & + & 3 x_3 & \geq & 1 \\ & & 1 x_0 & & & - & 1 x_2 & + & 6 x_3 & = & 1 \end{matrix}\end{split}\]
\[\begin{split}\begin{matrix} 0 & \leq & x_0 & \leq & 10 \\ 0 & \leq & x_1 & \leq & \infty \\ 0 & \leq & x_2 & \leq & \infty \\ 0 & \leq & x_3 & \leq & \infty \end{matrix}\end{split}\]

我们将展示如何使用 MindOpt 建模和求解这个优化问题。二次规划与线性规划的区别在于二次项矩阵的输入。对于线性约束的建模,依然可以通过以下两种形式来输入矩阵中的非零元:

  1. 行(约束) 排列;

  2. 列(变量) 排列。

具体可以参考 线性规划建模。对于二次项系数矩阵 \(Q\),为了保证对称性,用户只需输入其下三角的部分,并且在求解器内部会乘以 1/2.

接下来,我们将针对不同语言分别给出示例。