5.1. 线性规划建模

线性规划问题可以用以下数学形式表示:

\[\begin{split}\min \quad&-c^f + c^Tx \\ \mbox{s.t.} \quad&l^r \leq Ax \leq u^r, \\ & l^c \leq x \leq u^c,\end{split}\]
其中
  • \(x \in \mathbb{R}^{n}\) 是决策变量,

  • \(l^c \in \mathbb{R}^{n}\)\(u^c \in \mathbb{R}^{n}\) 分别为 \(x\) 的下界和上界,

  • \(c^f \in \mathbb{R}\) 是目标函数中的常量,

  • \(c \in \mathbb{R}^{n}\) 是目标函数中的系数,

  • \(A \in \mathbb{R}^{m \times n}\) 是约束矩阵,

  • \(l^r \in \mathbb{R}^{m}\)\(u^r \in \mathbb{R}^{m}\) 分别为是约束的下界和上界。

使用 MindOpt 的步骤为:

  1. 创建优化模型;

  2. 输入优化问题并设置算法参数;

  3. 求解优化问题并获取解。

Note

MindOpt 仅存储中的约束矩阵 \(A\) 中的 非零元;因此,使用时只需要输入 非零元 在约束矩阵中的 行列位置 (row/column index) 以及对应的 非零数值 (nonzero value)

5.1.1. 线性规划问题示例

在下文中,我们将考虑下列线性规划问题:

\[\begin{split}\begin{matrix} \min & 1 x_0 & + & 1 x_1 & + & 1 x_2 & + & 1 x_3 \\ \mbox{s.t.} & 1 x_0 & + & 1 x_1 & + & 2 x_2 & + & 3 x_3 & \geq & 1 \\ & 1 x_0 & & & - & 1 x_2 & + & 6 x_3 & = & 1 \end{matrix}\end{split}\]
\[\begin{split}\begin{matrix} 0 & \leq & x_0 & \leq & 10 \\ 0 & \leq & x_1 & \leq & \infty \\ 0 & \leq & x_2 & \leq & \infty \\ 0 & \leq & x_3 & \leq & \infty \end{matrix}\end{split}\]

我们将展示如何使用 MindOpt 建模和求解这个优化问题。对于各种语言,我们将分别给出示例,通过以下两种形式来输入矩阵中的非零元:

  1. 行(约束) 排列;

  2. 列(变量) 排列。

Note

  • 排列输入矩阵时,只需要输入每一行中其 非零元 所在的 列位置 (column index) 以及对应的 非零数值 (nonzero value)

  • 排列输入矩阵时,只需要输入每一列中其 非零元 所在的 列位置 (column index) 以及对应的 非零数值 (nonzero value)